Question

12．已知三角形的三邊a，b，c，三角形的重心到外接圓的距離為d，外接圓半徑為R，求證：a²+b²+c²+9d²=9R²．

Answer 1

分析 以△ABC的外心為原點建立坐標系，可令A、B、C的坐標依次是：（Rcosα，Rsinα）、（Rcosβ，Rsinβ）、（Rcosγ，Rsinγ）．令AB中點為D、△ABC的重心為G（m，n），求出m，n，進而可證明a²+b²+c²+9d²=9R²．

解答 證明：以△ABC的外心為原點建立坐標系，顯然，△ABC的外接圓方程是：x²+y²=R²．
∴可令A、B、C的坐標依次是：（Rcosα，Rsinα）、（Rcosβ，Rsinβ）、（Rcosγ，Rsinγ）．
令AB中點為D、△ABC的重心為G（m，n）．
由中點坐標公式，得D的坐標為（$\frac{1}{2}$R（cosα+cosβ），$\frac{1}{2}$R（sinα+sinβ））．
∵$\frac{CG}{DG}$=2，
∴有m=$\frac{Rcosγ+2R•\frac{1}{2}（cosα+cosβ）}{1+2}$=$\frac{1}{3}$R（cosα+cosβ+cosγ），n=$\frac{1}{3}$R（sinα+sinβ+sinγ）．
于是：
a²=（Rcosβ-Rcosγ）²+（Rsinβ-Rsinγ）²=R²（2-2cosβcosγ-2sinβsinγ）
b²=（Rcosα-Rcosγ）²+（Rsinα-Rsinγ）²=R²（2-2cosαcosγ-2sinαsinγ），
c²=（Rcosα-Rcosβ）²+（Rsinα-Rsinβ）²=R²（2-2cosαcosβ-2sinαsinβ）．
9d²=9[（m-0）²+（n-0）²]=9{[$\frac{1}{3}$R（cosα+cosβ+cosγ）-0]²+[$\frac{1}{3}$R（sinα+sinβ+sinγ）-0]²}
=R²[（cosα+cosβ+cosγ）²+（sinα+sinβ+sinγ）²]
=R²（3+2cosαcosβ+2cosβcosγ+2cosαcosγ+2sinαsinβ+2sinβsinγ+2sinαsinγ）．
∴a²+b²+c²+9d²=9R²．

點評 本題考查綜合法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．