Question

1．在等比數(shù)列{a_n}中，a₂=3，a₅=81
（Ⅰ）求a_n及其前n項和S_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=1+log₃a_n，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$}的前10項和T₁₀．

Answer 1

分析 （1）通過$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=3}\\{{a}_{1}{q}^{4}=81}\end{array}\right.$計算可知首項和公比，進(jìn)而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）及對數(shù)的性質(zhì)可知b_n=n，通過裂項可知$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，依題意得
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=3}\\{{a}_{1}{q}^{4}=81}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=3}\end{array}\right.$，
∴a_n=3^n-1，
S_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$；
（2）由（1）知b_n=1+log₃a_n=1+（n-1）=n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T₁₀=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$
=1-$\frac{1}{11}$
=$\frac{10}{11}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．