Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax²-blnx在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)為y=1．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，求證：f（x）＞x²-x+1
（Ⅲ）若0＜x₁＜x₂，求證：$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$＜2x₂．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（1）=1，f′（1）=0，解方程可得a，b；
（ II）令g（x）=f（x）-x²+x-1，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證；
（ III）方法一、由（ II）的單調(diào)性，可得x∈（0，1）時(shí)，x-1＞2lnx，由0＜x₁＜x₂，可得$0＜\frac{x_1}{x_2}＜1$，即可得證；
方法二、設(shè)φ（x）=2x₂（lnx₂-lnx）-x₂+x，（0＜x＜x₂），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，再由不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（Ⅰ） $f'（x）=2ax-\frac{x}，（x＞0）$，
依題意可得$\left\{\begin{array}{l}f（1）=a=1\\ f'（1）=2a-b=0\end{array}\right.$，
解得a=1，b=2；
（ II）∵g（x）=f（x）-x²+x-1
=（x-1）-2lnx，x∈（0，1），
∴$g'（x）=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$，
∵0＜x＜1，∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＞g（1）=0．即f（x）＞x²-x+1；
（ III）解法一：由（ II）知，x∈（0，1）時(shí)，x-1＞2lnx．
∵0＜x₁＜x₂，∴$0＜\frac{x_1}{x_2}＜1$，
∴$\frac{x_1}{x_2}-1＞2ln\frac{x_1}{x_2}$，∴$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{x_2}＞2（ln{x_1}-ln{x_2}）$，
∵lnx₂＞lnx₁，
∴$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{ln{x_2}-ln{x_1}}}＜2{x_2}$．
解法二：設(shè)φ（x）=2x₂（lnx₂-lnx）-x₂+x，（0＜x＜x₂）
$φ'（x）=-\frac{{2{x_2}}}{x}+1=\frac{{x-2{x_2}}}{x}$．
當(dāng)x∈（0，x₂），φ′（x）＜0，
∴φ（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減
∴φ（x）＞φ（x₂）=0，
∴x∈（0，x₂）時(shí)，2x₂（lnx₂-lnx）＞x₂-x，
∵0＜x₁＜x₂，∴2x₂（lnx₂-lnx₁）＞x₂-x₁，
∵lnx₂＞lnx₁，
∴$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{ln{x_2}-ln{x_1}}}＜2{x_2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)方程和單調(diào)區(qū)間，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，同時(shí)考查不等式的性質(zhì)和運(yùn)用，屬于中檔題．