Question

11．在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對角線BD₁的一個平面交AA₁于E，交CC₁于F，$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}A}$，$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=$μ\overrightarrow{{C}_{1}C}$（0＜λ，μ＜1）
①對任意的0＜λ＜1，四邊BFD₁E都是平行四邊形
②當λ=μ=$\frac{1}{2}$時，四邊形BFD₁E是正方形
③當λ=μ=$\frac{1}{2}$時，四邊形BFD₁E⊥平面BB₁D₁D
④λ+μ=1恒成立
⑤對任意的λ，μ四邊形BFD₁E與平面ABCD所稱的二面角為定值
以上結(jié)論正確的為①③④．

Answer 1

分析 根據(jù)在一個平面內(nèi)不相交的直線平行，相似三角形對應(yīng)邊的大小關(guān)系，正方體內(nèi)邊和對角線的關(guān)系，線面垂直的判定定理，如何用向量的夾角計算二面角的平面角的大小即可判斷每個結(jié)論的正誤．

解答 解：①顯然ED₁和BF沒有公共點，且在一個平面內(nèi)；
∴ED₁∥BF；
同理BE∥FD₁；
∴對任意的0＜λ＜1，四邊BFD₁E都是平行四邊形，∴①正確；
②設(shè)該正方體的邊長為2，當$λ=μ=\frac{1}{2}$時，可求出EB=ED₁=$\sqrt{5}$，且$B{{D}_{1}}^{2}=12≠B{E}^{2}+E{{D}_{1}}^{2}=10$；
∴四邊形BFD₁E不是正方形，∴②錯誤；
③如圖，連接EF，A₁C₁：

則，EF∥A₁C₁，BB₁⊥A₁C₁，∴EF⊥BB₁；
由②知四邊形BFD₁E為菱形，所以EF⊥BD₁，BD₁∩BB₁=B；
∴EF⊥平面BB₁D₁D，EF?平面BFD₁E；
∴平面BFD₁E⊥平面BB₁D₁D，∴③正確；
④根據(jù)圖形看出△A₁D₁E≌△CBF；
∴A₁E=CF；
∴$λ+μ=\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}E}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}A}|}+\frac{|\overrightarrow{{C}_{1}F}|}{|\overrightarrow{{C}_{1}C}|}=\frac{|\overrightarrow{FC}|+|\overrightarrow{{C}_{1}F}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}A}|}=1$，∴④正確；
⑤由圖形看出平面BFD₁E與平面ABCD的交線與EF，AC平行；
連接BD，則BD⊥AC，過D₁，作D₁O⊥EF，則：
向量$\overrightarrow{{D}_{1}O}$和向量$\overrightarrow{DB}$的夾角便等于這兩平面所成二面角的大小；
顯然，向量$\overrightarrow{DB}$不變，而$\overrightarrow{{D}_{1}O}$會隨著λ，μ的改變而改變；
∴平面BFD₁E與平面ABCD所成二面角的平面角不是定值，∴⑤錯誤．
∴結(jié)論正確的為①③④．
故答案為：①③④．

點評 考查平行線的定義，正方體相對平面的位置關(guān)系，平行四邊形的判斷，直角三角形邊的關(guān)系，菱形的概念，以及正方形的概念，相似三角形對應(yīng)邊的關(guān)系，數(shù)乘的幾何意義，能夠用向量的夾角度量兩個平面所成平面的大�。�