Question

5．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁+a₂+…+a_n=3ⁿ-1（n∈N^*），則a₁²+a₂²+…+a₁₀²=（　�。�

• A． （3¹⁰-1）²
• B． $\frac{{{9^{10}}-1}}{2}$
• C． 9¹⁰-1
• D． $\frac{{{3^{10}}-1}}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則a₁+a₂+…+a_n=S_n=3ⁿ-1（n∈N^*），利用遞推關(guān)系可得：a_n=2×3^n-1．于是${a}_{n}^{2}$=4×9^n-1．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則a₁+a₂+…+a_n=S_n=3ⁿ-1（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3-1=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-1-（3^n-1-1）=2×3^n-1．
當(dāng)n=1時(shí)上式成立，
∴a_n=2×3^n-1．
∴${a}_{n}^{2}$=4×3^2n-2=4×9^n-1．
∴數(shù)列{${a}_{n}^{2}$}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為9．
則a₁²+a₂²+…+a₁₀²=$\frac{4（{9}^{n}-1）}{9-1}$=$\frac{{9}^{10}-1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．