Question

10．已知定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{1+{x}^{2}}$，且f（1）=-1．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減；
（3）解關(guān)于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析 （1）f（x）中的x換上1便可求出f（1），從而可求出a=-2；
（2）根據(jù)減函數(shù)的定義，在區(qū)間（-1，1）上設(shè)任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式x₂-x₁，從而證明f（x₁）＞f（x₂），這樣便可得到f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減；
（3）根據(jù)f（x）解析式，顯然可得到f（-x）=-f（x），從而由原不等式可得到f（t-1）＜f（-t），這樣根據(jù)f（x）的定義域和單調(diào)性便可得到關(guān)于t的不等式組，解不等式組即可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）f（1）=$\frac{a}{2}=-1$；
∴a=-2；
（2）證明：$f（x）=-\frac{2x}{{1+{x^2}}}$，設(shè)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}-\frac{2{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{2}}^{2}）（1+{{x}_{1}}^{2}）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴x₂-x₁＞0，-1＜x₁x₂＜1，1-x₁x₂＞0；
∴$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{2}}^{2}）（1+{{x}_{1}}^{2}）}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減；
（3）顯然f（-x）=-f（x）；
∴由f（t-1）+f（t）＜0得：f（t-1）＜f（-t）；
由（2）知f（x）在定義域[-1，1]上單調(diào)遞減；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤t-1≤1}\\{-1≤-t≤1}\\{t-1＞-t}\end{array}\right.$；
解得$\frac{1}{2}＜t≤1$；
∴原不等式的解集為$（\frac{1}{2}，1]$．

點評 考查已知函數(shù)求值，減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂，或x₂-x₁，奇函數(shù)的定義，根據(jù)單調(diào)性的定義解不等式的方法．