Question

18．已知a＞0，且a≠0，m＞m＞0，比較A=a^m+$\frac{1}{{a}^{m}}$與B=a${\;}^{n}+\frac{1}{{a}^{n}}$的大小．

Answer 1

分析 作差，對a分類討論，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：A-B=a^m+$\frac{1}{{a}^{m}}$-aⁿ-$\frac{1}{{a}^{n}}$=$\frac{（{a}^{m}-{a}^{n}）（{a}^{n+m}-1）}{{a}^{n+m}}$，
當(dāng)a＞1時(shí)，∵m＞n＞0，∴a^m＞aⁿ，a^m＞aⁿ＞1，∴A-B＞0，∴A＞B．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，∵m＞n＞0，∴a^m＜aⁿ，0＜aⁿ，a^m＜1，∴aⁿ•a^m＜1，∴A＞B．
綜上可得：A＞B．

點(diǎn)評 本題考查了“作差法”、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．