Question

9．函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-2x}$的單調(diào)區(qū)間為減區(qū)間為（1，+∞），增區(qū)間為（-∞，1]，值域為（0，3]．

Answer 1

分析 可以看出該函數(shù)是由$y=（\frac{1}{3}）^{t}$和t=x²-2x復合而成的復合函數(shù)，從而求函數(shù)t=x²-x的單調(diào)區(qū)間即可得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．配方x²-2x=（x-1）²-1≥-1，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出f（x）的值域．

解答 解：令x²-2x=t，設y=f（x），則$y=（\frac{1}{3}）^{t}$為減函數(shù)；
∴t=x²-2x的單調(diào)增減區(qū)間為原函數(shù)的單調(diào)減增區(qū)間；
∴原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1]；
x²-2x=（x-1）²-1≥-1；
∴$0＜（\frac{1}{3}）^{{x}^{2}-2x}≤（\frac{1}{3}）^{-1}=3$；
∴該函數(shù)的值域為（0，3]．
故答案為：減區(qū)間為（1，+∞），增區(qū)間為（-∞，1]，（0，3]．

點評 考查復合函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，配方求二次函數(shù)值域的方法，根據(jù)減函數(shù)的定義求函數(shù)的值域．