Question

8．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為2，A，B為左右頂點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，PA的斜率為k₁，O為原點(diǎn)，PO斜率為k₂，PB的斜率為k₃，則m=k₁k₂k₃．則m的取值范圍為（-3$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 設(shè)P（s，t），（s＞0），即有$\frac{{s}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{^{2}}$=1，A（-a，0），B（a，0），運(yùn)用直線的斜率公式，可得k₁k₃=$\frac{{t}^{2}}{{s}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，再由漸近線的斜率和離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=2，A（-a，0），B（a，0），
設(shè)P（s，t），（s＞0），即有$\frac{{s}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{^{2}}$=1，
則k₁=$\frac{t}{s+a}$，k₂=$\frac{t}{s}$，k₃=$\frac{t}{s-a}$，
k₁k₃=$\frac{{t}^{2}}{{s}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{1}{{s}^{2}-{a}^{2}}$•b²•$\frac{{s}^{2}-{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
則有m=k₁k₂k₃=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{t}{s}$，
由雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即有-$\frac{a}$＜$\frac{t}{s}$＜$\frac{a}$，
由c=2a，可得b=$\sqrt{3}$a，
則m的范圍是（-3$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）．
故答案為：（-3$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線的斜率公式的運(yùn)用，同時(shí)考查漸近線的斜率和離心率的運(yùn)用，屬于中檔題．