Question

10．設(shè)奇函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，且滿足f（x-2）=-f（x）對(duì)任意x∈R恒成立，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=x³．則下列三個(gè)命題：
①y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
②y=f（x）在[1，3]上的解析式為f（x）=（2-x）³；
③x=1與x=-1，都是函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱軸．
其中正確的命題是（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 對(duì)于①，由f（x-2）=-f（x）對(duì)一切x∈R恒成立即可判斷①的正誤；對(duì)于②，利用①f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=x³即可求得f（x）在[1，3]上的解析式，從而可判斷其正誤；對(duì)于③，由f（1+x）=f（1-x）與f（-1+x）=f（-1-x）即可判斷③的正誤；

解答 解：對(duì)于①，∵f（x-2）=-f（x）對(duì)一切x∈R恒成立，
∴f[（x-2）-2]=-f（x-2）=f（x），即f（x-4）=f（x）
以-x代x得：f（-x-4）=f（-x），
又函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴-f（x+4）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，故①正確；
對(duì)于②，令1≤x≤3，則-1≤2-x≤1，故-1≤x-2≤1，
∵-1≤x≤1時(shí)，f（x）=x³，
∴f（x-2）=（x-2）³；
∵f（x-2）=-f（x），
∴-f（x）=（x-2）³，
∴f（x）=（2-x）³，故②正確；
∵f（x-2）=-f（x），
∴f[-1+（x-1）]=f[-1-（x-1）]=-f（x），
∴f（x）的圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱；
∵f（2-x）=f（x），
∴f[1+（1-x）]=f[1-（1-x）]，
∴f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，
故③正確．
∴正確的命題是①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的周期性及函數(shù)解析式的求解及常用方法，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題