Question

15．已知定義在（0，$\frac{π}{2}$）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且對(duì)于任意的x∈（0，$\frac{π}{2}$），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，則（　�。�

• A． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）
• B． f（$\frac{π}{3}$）＞f（1）
• C． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{4}$）
• D． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，即可判斷個(gè)選項(xiàng)．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$＜0在x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，
∴g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞減，
∴g（$\frac{π}{6}$）＞g（$\frac{π}{4}$）＞g（1）＞g（$\frac{π}{3}$），
∴$\frac{f（\frac{π}{6}）}{\frac{1}{2}}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$＞$\frac{f（1）}{sin1}$＞$\frac{f（\frac{π}{3}）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）＞f（$\frac{π}{4}$），$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＞f（$\frac{π}{3}$），$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$），sin$\frac{π}{3}$f（1）＞sin1f（$\frac{π}{3}$），故無(wú)法比較f（$\frac{π}{3}$）與f（1）
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．