Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-1在點(diǎn)P（x₀，f（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），若?x∈（-∞，x₀）∪（x₀，+∞），都有$\frac{f（x）-g（x）}{x-{x}_{0}}$＞0成立，則x₀的值為1．

Answer 1

分析 由f（x）在點(diǎn)P（x₀，f（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），得到g（x）的表達(dá)式，代入f（x）-g（x），求其導(dǎo)函數(shù)，分類討論，可得?x∈（0，1）∪（1，+∞）時(shí)，都有$\frac{f（x）-g（x）}{x-{x}_{0}}$＞0成立，即可求出x₀的值．

解答 解：由函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（x₀，f（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），
則g（x）=（x₀³-1）+3x₀²（x-x₀），
令φ（x）=f（x）-g（x）=x³-1-（x₀³-1）-3x₀²（x-x₀），
則φ（x₀）=0．φ′（x）=3x²-3x₀²，
當(dāng)x₀＜1時(shí)，在（x₀，+∞）上φ′（x）＞0，∴φ（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴x∈（x₀，+∞）時(shí)，φ（x）＞φ（x₀）=0．
從而x∈（x₀，+∞）時(shí)，$\frac{f（x）-g（x）}{x-{x}_{0}}$＞0．
當(dāng)x₀＞1時(shí)，在（0，x₀）上φ′（x）＜0，∴φ（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴x∈（0，x₀）時(shí)，φ（x）＞φ（x₀）=0．
從而x∈（0，x₀）時(shí)，$\frac{f（x）-g（x）}{x-{x}_{0}}$＞0．
∴?x∈（0，1）∪（1，+∞）時(shí)，都有$\frac{f（x）-g（x）}{x-{x}_{0}}$＞0成立，
∴x₀=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，正確理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，是中高檔題．