Question

7．設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），又當-1≤x≤1時，f（x）=x³，
（1）證明函數(shù)為周期函數(shù)；
（2）證明：直線x=1是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸；
（3）當x∈[1，5]時，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），函數(shù)為T=4的周期函數(shù)；
（2）利用f（x）是奇函數(shù)且f（x+2）=-f（x），可得f（x+2）=f（-x），f（x+1）=f（-x+1），即可證明直線x=1是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸；
（3）分類討論，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)為T=4的周期函數(shù)；
（2）證明：∵f（x）是奇函數(shù)且f（x+2）=-f（x），
∴f（x+2）=f（-x），
∴f（x+1）=f（-x+1），
∴直線x=1是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸；
（3）解：x∈[1，3]，-x∈[-3，-1]，-x+2∈[-1，1]，
∴f（-x+2）=（-x+2）³，
∴f（x）=（-x+2）³，
x∈[3，5]，x-4∈[-1，1]，∴f（x-4）=（x-4）³，
∴f（x）=（x-4）³，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（-x+2）^{3}，x∈[1，3]}\\{（x-4）^{3}，x∈[3，5]}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性和遞推關(guān)系，這類題往往是奇偶性和周期性結(jié)合來轉(zhuǎn)化求值區(qū)間，屬于中檔題．