Question

17．已知f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x|x-2|，求函數(shù)f（x）的解析式．（要求畫(huà)出圖象）

Answer 1

分析 因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x|x-2|所以，當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，整體代入由函數(shù)的奇偶性可得答案；所得的函數(shù)解析式結(jié)合二次函數(shù)的圖象特點(diǎn)，可函數(shù)的圖象．

解答 解：∵x＞0時(shí)，f（x）=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x，0＜x＜2}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∴f（-x）=-x|-x-2|，
又∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），f（0）=0，
∴-f（x）=-x|-x-2|=-x|x+2|，
即f（x）=x|x+2|，
綜上f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x，0≤x＜2}\\{{x}^{2}+2x，-2＜x＜0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤-2}\end{array}\right.$
由函數(shù)的解析式可得其圖象，如圖：

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間的解析式，以及函數(shù)圖象的作法，屬中檔題．