Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{3}$x³-ax²+x+1在x=x₁和x=x₂處有極值，且1＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤5．
（1）求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a取最大值時(shí)，存在t∈R，使得x∈[1，m]（m＞1），f′（t-x）≤$\frac{36}{5}$x-$\frac{4}{5}$恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)韋達(dá)定理得到x₁+x₂，x₁x₂，結(jié)合$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$的范圍，得到$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的范圍，從而求出的范圍；
（2）令u=t-x，u∈[t-m，t-1]，得到y(tǒng)=-$\frac{9}{5}$（u-1）²+1，通過(guò)討論t的范圍得到不等式，求出m的最大值即可．

解答 解：（1）令f′（x）=ax²-2ax+1=0
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{1}{a}$，
∵1＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤5，∴$\frac{1}{5}$≤$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜1，
$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（$\frac{6}{5}$，6），
$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{2x}_{1}x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$=$\frac{4-\frac{2}{a}}{\frac{1}{a}}$∈（$\frac{6}{5}$，6）
解得：a∈（$\frac{4}{5}$，2）
（2）：[f（t-x）]′=-f′（t-x）=-a（t-x）²+2a（t-x）-1，
令u=t-x，u∈[t-m，t-1]，
∴y=-$\frac{9}{5}$（u-1）²+1，
①當(dāng)t-1≤1即t≤2時(shí)：
y_max=y_t-1=-$\frac{9}{5}$（t-2）²+$\frac{4}{5}$≤$\frac{36}{5}$m-$\frac{4}{5}$，
解得：m≤$\frac{9}{2}$，
②當(dāng)2＜t＜m+1時(shí)：y_max=$\frac{4}{5}$≤$\frac{36}{5}$m-$\frac{4}{5}$，
解得：m≤$\frac{9}{2}$，
③當(dāng)t≥m+1時(shí)：y_max=-$\frac{9}{5}$（t-m+1）²+$\frac{4}{5}$≤$\frac{4}{5}$，
綜上：m≤$\frac{9}{2}$．
故m的最大值是；$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查分類(lèi)討論，是一道中檔題．