Question

17．已知直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長(zhǎng)為4，則ab的最大值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，由直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4剛好為圓的直徑，得到直線過(guò)圓心，所以把圓心坐標(biāo)代入直線方程得到a+b的值，根據(jù)a+b的值，利用基本不等式即可求出ab的最大值．

解答 解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+1）²+（y-2）²=4，
所以圓心坐標(biāo)為（-1，2），半徑r=2，
由直線被圓截取的弦長(zhǎng)為4，圓的直徑也為4，得到直線過(guò)圓心，
把圓心坐標(biāo)代入直線方程得：-2a-2a+2=0，即a+b=1，
又a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，
所以ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$取等號(hào)，
則ab的最大值是$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及基本不等式，根據(jù)題意得到已知直線過(guò)圓心是本題的突破點(diǎn)．