Question

18．設函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且在（-∞，0）上是增函數(shù)，判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

分析 直接利用偶函數(shù)的性質：在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反即可得出其在（0，+∞）上的單調性；再利用函數(shù)單調性的定義證明結論即可．

解答 解：因為偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反；
且f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
故f（x）在（0，+∞）是減函數(shù)．
證明如下：若0＜x₁＜x₂＜+∞，那么-∞＜-x₂＜-x₁＜0．
由于偶函數(shù)在（-∞，0）上是增函數(shù)，故有：f（-x₂）＜f（-x₁）
又根據(jù)偶函數(shù)的性質可得：f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂）
綜上可得：f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調性的綜合問題．這一類型題目，主要是考查偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反，而奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同這一結論．