Question

6．已知f（x）=e^1-x，g（x）=ln（t-x），其中e=2.71828…，m為常數(shù)，且t∈R．
（1）若h（x）=f（x）-g（x）在（1，h（1））處的切線為y=1-ln（t-1），求t的值并討論函數(shù)h（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)t≤3時(shí)，證明：f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用h′（1）=-1+$\frac{1}{t-1}$=0，可得t，證明x∈（-∞，1）時(shí)，h′（x）＜h′（1），h（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，x∈（1，2）時(shí)，h′（x）＞h′（1），h（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，可得結(jié)論；
（2）當(dāng)t≤3，x＜t時(shí)，ln（t-x）≤ln（3-x），要證明f（x）＞g（x），只要證明f（x）＞ln（3-x）．

解答 （1）解：h（x）=f（x）-g（x）=e^1-x-ln（t-x），h′（x）=-e^1-x+$\frac{1}{t-x}$，
∴h′（1）=-1+$\frac{1}{t-1}$=0，
∴t=2，
∴h′（x）=-e^1-x+$\frac{1}{2-x}$，
令m（x）=-e^1-x+$\frac{1}{2-x}$，則m（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增，
∴h′（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增，
∵h(yuǎn)′（1）=0，
∴x∈（-∞，1）時(shí)，h′（x）＜h′（1），h（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，x∈（1，2）時(shí)，h′（x）＞h′（1），h（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，
綜上，h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2）；
（2）證明：當(dāng)t≤3，x＜t時(shí)，ln（t-x）≤ln（3-x），
要證明f（x）＞g（x），只要證明f（x）＞ln（3-x）．
令F（x）=f（x）-ln（3-x）=e^1-x-ln（3-x），
∴F′（x）=-e^1-x+$\frac{1}{3-x}$在（-∞，3）上單調(diào)遞增且F′（1）＜0，F(xiàn)′（2）＞0，
∴存在唯一一個(gè)x₀∈（1，2），使得F′（x₀）=0
∴-${e}^{1-{x}_{0}}$+$\frac{1}{3-{x}_{0}}$=0，
∴l(xiāng)n（x₀-3）=x₀-1．
x∈（-∞，x₀），F(xiàn)′（x）＜0，x∈（x₀，3），F(xiàn)′（x）＞0
∴F（x）≥F（x₀）=$\frac{1}{3-{x}_{0}}$-（x₀-1）＞0，
∴f（x）＞ln（3-x）．
∴f（x）＞g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．