Question

20．某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
溫差x （℃）	10	11	13	12	8
發(fā)芽數(shù)y（顆）	23	25	30	26	16

該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．
（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；
（2）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a已知回歸直線方程是：$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，其中b=$\frac{\sum_{i-1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i-1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$；
（3）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)古典概型的概率，求出基本事件數(shù)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率即可；
（2）計(jì)算平均數(shù)$\overline{x}$、$\overline{y}$，由公式求出系數(shù)b與a，得出線性回歸方程；
（3）由線性回歸方程驗(yàn)證（2）中得到的線性回歸方程是否可靠．

解答 解：（1）設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件A，
因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的，
其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有4種，
所以P（A）=1-$\frac{4}{10}$=$\frac{3}{5}$；---（4分）
（2）由數(shù)據(jù)，得$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（10+11+13+12+8）=10.8，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（23+25+30+26+16）=24，
由公式，得b=$\frac{（10×23+11×25+13×30+12×26+8×16）-5×10.8×24}{{（10}^{2}{+11}^{2}{+13}^{2}{+12}^{2}{+8}^{2}）-5{×10.8}^{2}}$≈2.6，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=24-2.6×10.8≈-4；
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=2.6x-4；---（8分）
（3）當(dāng)x=10時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=2.6×10-4=22，|22-23|＜2；
同樣，當(dāng)x=11時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=2.6×11-4=24.6，|24.6-25|＜2；
當(dāng)x=12時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=2.6×12-4=27.2，|27.2-26|＜2；
當(dāng)x=13時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=2.6×13-4=29.8，|29.8-30|＜2；
當(dāng)x=8時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=2.6×8-4=16.8，|16.8-16|＜2；
所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠的．---（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型的概率計(jì)算問題，也考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．