Question

10．設(shè)奇函數(shù)f（x）（x∈R）在（-∞，0]上是減函數(shù)，且有f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），求函數(shù)y=3+2a-a²的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，解不等式，由此求得a的取值范圍，結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：由題意可得，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上也是減函數(shù)，
2a²+a+1=2（a+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$＞0，3a²-2a+1=3（a-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{2}{3}$＞0，
由f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），
可得 2a²+a+1＞3a²-2a+1，即 a（a-3）＜0，
求得0＜a＜3，
函數(shù)y=3+2a-a²的對(duì)稱(chēng)軸為a=1，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，
則函數(shù)在（0，1]上為增函數(shù)，則[1，3）上為減函數(shù)，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為[1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．