Question

9．已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上有一點(diǎn)P（4，m）到焦點(diǎn)的距離為6．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過焦點(diǎn)F且傾斜角$\frac{π}{4}$的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，求弦長(zhǎng)|AB|．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），運(yùn)用拋物線的定義，可得4+$\frac{p}{2}$=6，解得p=4，進(jìn)而得到拋物線的方程；
（2）求得直線方程，聯(lián)立拋物線的方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
且過一點(diǎn)P（4，m），
可設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
P（4，m）到焦點(diǎn)的距離為6，
即有P到準(zhǔn)線的距離為6，即4+$\frac{p}{2}$=6，
解得p=4，
即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=8x；
（2）由F（2，0），k=tan$\frac{π}{4}$=1，直線方程為y=x-2，
聯(lián)立直線與拋物線方程得：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{y=x-2}\end{array}\right.$可得x²-12x+4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理知：x₁+x₂=12，
由|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p，
可得|AB|=12+4=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．