Question

13．求證：函數(shù)f（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x在R上是單凋減函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)，分析導函數(shù)的符號，可得函數(shù)的單調(diào)性．

解答 證明：∵f（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x，
∴f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$-1=$\frac{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，
當x≤0時，易得f′（x）＜0，
當x＞0時，$\sqrt{1+{x}^{2}}$＞x，此時f′（x）＜0，
綜上，f′（x）＜0在R上恒成立，
故函數(shù)f（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x在R上是單凋減函數(shù)．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，單調(diào)性的證明一般有三種途徑：定義法，性質(zhì)，導數(shù)法，本題用導數(shù)法相對簡單．