Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和${S_n}=\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式，并證明{a_n}是等比數(shù)列；
（2）令b_n=（2n+1）a_n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）通過n=1可知首項，通過n≥2、利用a_n=S_n-S_n-1可知通項，進而可得結論；
（II）通過${a_n}={3^n}$可知${b_n}=（2n+1）{3^n}$，利用錯位相減法計算即得結論．

解答 （I）證明：①當n=1時，a₁=S₁=3；
②當n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{1}{2}（{3^{n+1}}-{3^n}）={3^n}$；
綜合①②，可得${a_n}={3^n}$，
∵$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=3（n∈{N_+}）$，
∴數(shù)列{a_n}是公比為3的等比數(shù)列；
（II）解：∵${a_n}={3^n}$，b_n=（2n+1）a_n（n∈N^*），
∴${b_n}=（2n+1）{3^n}$，
T_n=3•3+5•3²+7•3³+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ，
∴3T_n=3•3²+5•3³+7•3⁴+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-2T_n=9+2•（3²+3³+…+3^n-1+3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
=9+2•$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
=-2n•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•3ⁿ⁺¹．

點評 本題考查等比數(shù)列的判定，考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．