Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=log_a（x-3a）（a＞0且a≠1），當(dāng)點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)時，點(diǎn)Q（x-2a，-y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的點(diǎn)．
（1）寫出函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）若當(dāng)x∈[a+2，a+3]時，恒有|f（x）-g（x）|≤1，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，y=f（x）=log_a（x-3a），-y=g（x-2a）；則g（x-2a）=-log_a（x-3a），利用換元法求函數(shù)解析式；
（2）利用（1）中函數(shù)y=g（x）的解析式得到|f（x）-g（x）|≤1，則-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來求a．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x′，y′），則x′=x-2a，y′=-y．即x=x′+2a，y=-y′．
∵點(diǎn)P（x，y）在函數(shù)y=log_a（x-3a）的圖象上，
∴-y′=log_a（x′+2a-3a），
即y′=log_a$\frac{1}{{x}^{2}-a}$，
∴g（x）=log_a$\frac{1}{x-a}$．
（2）由題意得x-3a=（a+2）-3a=-2a+2＞0；
又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1，
∵|f（x）-g（x）|=|log_a（x-3a）-log_a$\frac{1}{x-a}$|=|log_a（x²-4ax+3a²）|，又|f（x）-g（x）|≤1，
∴-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1，
∵0＜a＜1，
∴a+2＞2a．H（x）=x²-4ax+3a²在[a+2，a+3]上為增函數(shù)，
∴μ（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在[a+2，a+3]上為減函數(shù)，
從而[μ（x）]_max=μ（a+2）=log_a（4-4a），[μ（x）]_min=μ（a+3）=log_a（9-6a），
于是所求問題轉(zhuǎn)化為求不等式組$\left\{\begin{array}0＜a＜1\\{log_a}（9-6a）≥-1\\{log_a}（4-4a）≤1\end{array}\right.$的解．
由log_a（9-6a）≥-1解得0＜a≤$\frac{{9-\sqrt{57}}}{12}$，由log_a（4-4a）≤1解得0＜a≤$\frac{4}{5}$，
∴所求a的取值范圍是0＜a≤$\frac{{9-\sqrt{57}}}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查了圖象的變換及換元法求函數(shù)的解析式及函數(shù)的定義域的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．