Question

1．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足asinB=$\sqrt{3}$bcosA．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理、商的關(guān)系化簡式子，求出tanA的值，由A的范圍求出角A的大��；
（Ⅱ）解法一：由條件和余弦定理列出方程，利用基本不等式求出b+c的范圍，再求出△ABC的周長最大值；
解法二：根據(jù)條件和正弦定理表示出b+c，利用兩角和與差的正弦函數(shù)化簡，求出B的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出b+c的最大值，即可求出△ABC的周長最大值．

解答 解：（Ⅰ）依正弦定理可將$asinB=\sqrt{3}bcosA$化為：$sinAsinB=\sqrt{3}sinBcosA$…（2分）
因?yàn)樵趕inB＞0中，sinB＞0，
所以$sinA=\sqrt{3}cosA$，即$tanA=\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$．                …（5分）
（Ⅱ）因?yàn)?a+b+c=4+b+c的周長=a+b+c=4+b+c，
所以當(dāng)b+c最大時(shí)，△ABC的周長最大，
解法一：因?yàn)閍²=c²+b²-2bccosA=（b+c）²-3bc，…（7分）
因?yàn)閍=4，且$bc≤\frac{{{{（b+c）}^2}}}{4}$，
∴16$≥\frac{{{{（b+c）}^2}}}{4}$，即b+c≤8（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時(shí)等號成立） …（11分）
所以△ABC周長的最大值為12．…（12分）
解法二：因?yàn)?\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
所以b+c=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（$\frac{2π}{3}-B$）]
=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$（sinB+sin$\frac{2π}{3}$cosB-cos$\frac{2π}{3}$sinB）
=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB）=8sin（B+$\frac{π}{6}$），
由$\frac{2π}{3}-B$＜0得，0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
當(dāng)B=$\frac{π}{3}$時(shí)，8sin（B+$\frac{π}{6}$）=8，b+c取到最大值是8，
所以△ABC周長的最大值為12．

點(diǎn)評 本題考查正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值問題，屬于中檔題．