Question

12．過點(diǎn)A（0，1）且與雙曲線x²-y²=4僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有（　�。�條．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 用代數(shù)法，先聯(lián)立方程，消元后得到一個(gè)方程，先研究相切的情況，即判別式等于零，再研究與漸近線平行的情況．

解答 解：設(shè)過點(diǎn)（0，1）與雙曲線x²-y²=4有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=kx+1．
根據(jù)題意：$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x}^{2}-{y}^{2}=4\end{array}\right.$，
消去y整理得（1-k²）x²-2kx-5=0，
∵△=0，
∴k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
又注意直線恒過點(diǎn)（0，1）且漸近線的斜率為±1，
又過該點(diǎn)的直線與漸近線平行時(shí)也成立．
故過點(diǎn)（0，1）與雙曲線x²-y²=4有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有4條．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，在只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，不要忽視了與漸近線平行的情況．