Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x-x+$\frac{1}{2}$x²．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）設(shè)g（x）=e^x+$\frac{1}{2}$x²-2lnx+a-1-f′（x），若g（x）≥0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程，可得切線方程；
（2）化簡g（x），運用參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值也為最值，可得a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x-x+$\frac{1}{2}$x²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-1+x，
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為k=f′（1）=e，
切點為（1，e-$\frac{1}{2}$），
即有曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-（e-$\frac{1}{2}$）=e（x-1），
即為ex-y-$\frac{1}{2}$=0；
（2）由于f′（x）=e^x-1+x，
則g（x）=e^x+$\frac{1}{2}$x²-2lnx+a-1-f′（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx+a-x，
由已知，g（x）≥0，只需$\frac{1}{2}$x²-2lnx+a-x≥0，
即a≥x-$\frac{1}{2}$x²+2lnx，
設(shè)h（x）=x-$\frac{1}{2}$x²+2lnx（x＞0），
則′（x）=1-x+$\frac{2}{x}$=-$\frac{（x+1）（x-2）}{x}$，
令h′（x）=0，得x=2；令h′（x）＞0，得0＜x＜2；
令h′（x）＜0，得x＞2，
即有h（x）在（0，2）上是增函數(shù)；在（2，+∞）上為減函數(shù)．
則h（x）_max=h（2）=2ln2，即有a≥2ln2，
故a的范圍是[2ln2，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值以及最值，同時考查不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．