Question

16．在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段DC上，且CF=2DF．若$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AE}+μ\overrightarrow{AF}$，λ，μ均為實(shí)數(shù)，則λ+μ的值為$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，從而$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=$λ（\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow）+μ（\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$，由此能求出λ+μ．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，
∵在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段DC上，且CF=2DF，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
∵$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AE}+μ\overrightarrow{AF}$，λ，μ均為實(shí)數(shù)，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=$λ（\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow）+μ（\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ+\frac{μ}{3}=1}\\{\frac{λ}{2}+μ=1}\end{array}\right.$，解得$λ=\frac{4}{5}，μ=\frac{3}{5}$，
∴λ+μ=$\frac{7}{5}$．
故答案為：$\frac{7}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查代數(shù)式求值，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面向量加法法則的合理運(yùn)用．