Question

4．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}，其中a₁=1，a_n=$\frac{1}{_{n}}$+$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{_{n+1}_{n}}$=$\frac{6}{_{n+1}}$-$\frac{3}{_{n}}$（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{b_n-$\frac{4}{3}$}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式及數(shù)列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得${b_{n+1}}-\frac{4}{3}=2（{b_n}-\frac{4}{3}）$，由此能證明{$_{n}-\frac{4}{3}$}是首項為$\frac{2}{3}$，公比q=2的等比數(shù)列．
（2）由{$_{n}-\frac{4}{3}$}是首項為$\frac{2}{3}$，公比q=2的等比數(shù)列，得$_{n}=\frac{{2}^{n}}{3}+\frac{4}{3}$，從而${a_n}{b_n}=\frac{1}{2}{b_n}+1$，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項公式及數(shù)列{a_nb_n}的前n項和S_n．

解答 （1）證明：∵$\frac{4}{{{b_{n+1}}{b_n}}}=\frac{6}{{{b_{n+1}}}}-\frac{3}{b_n}$，即${b_{n+1}}=2{b_n}-\frac{4}{3}$，（2分）
∴${b_{n+1}}-\frac{4}{3}=2（{b_n}-\frac{4}{3}）$，
又${b_1}-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$≠0，
∴{$_{n}-\frac{4}{3}$}是首項為$\frac{2}{3}$，公比q=2的等比數(shù)列．（5分）
（2）解：由（1）知b_n-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}×{2}^{n-1}$=$\frac{{2}^{n}}{3}$，
∴$_{n}=\frac{{2}^{n}}{3}+\frac{4}{3}$，n≥1，（7分）
∵${a_n}=\frac{1}{b_n}+\frac{1}{2}$，∴${a_n}{b_n}=\frac{1}{2}{b_n}+1$，（9分）
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
=$\frac{1}{2}（{b_1}+{b_2}+…+{b_n}）+n=\frac{{\frac{1}{3}（1-{2^n}）}}{1-2}+\frac{5}{3}n$
=$\frac{1}{3}（{2^n}+5n-1）$．（12分）

點評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法及數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．