Question

20．已知集合A={x|x²-6x+5=0}，B={x|x²+2（a+1）x+（a²-3）=0}，
（1）若A∩B={1}，求實數(shù)a的值；
（2）若A∪B=A，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）1∈B，可得1²+2（a+1）+（a²-3）=0，求出a，驗證即可求實數(shù)a的值；
（2）由已知求出集合A，由A∪B=A，推出B⊆A，通過B為空集，不是空集分別列出a的關系式，得到關于a的不等式或不等式組組，解不等式組，求解，即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵A∩B={1}，
∴1∈B，
∴1²+2（a+1）+（a²-3）=0，
∴a=0或-2，
a=0，B={1，-3}，符合題意；a=-2，B={1}，符合題意，
∴a=0或-2；
（2）∵集合A={x|x²-6x+5=0}={1，5}≠∅，
∵A∪B=A，
∴B⊆A
若B=∅，則△＜0，即4（a+1）²-4（a²-3）＜0，解得a＜-2；
若B≠∅且A=B，則有$\left\{\begin{array}{l}{2（a+1）=-6}\\{{a}^{2}-3=5}\end{array}\right.$，不滿足滿足條件的a值；
當B≠∅且B={1}時，則有$\left\{\begin{array}{l}{2（a+1）=-2}\\{{a}^{2}-3=1}\end{array}\right.$，解得：a=-2，
當B≠∅且B={5}時，則有$\left\{\begin{array}{l}{2（a+1）=-10}\\{{a}^{2}-3=25}\end{array}\right.$，不滿足滿足條件的a值，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤-2}．

點評 本題考查的知識點是集合關系中的參數(shù)取值問題，其中根據(jù)已知條件，構(gòu)造出關于a的不等式組，是解答本題的關鍵．