Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=qa_n+2q-2（q為常數(shù)，|q|＜1），若a₃，a₄，a₅，a₆∈{-18，-6，-2，6，30}，則a₁=（　�。�

• A． -2
• B． -2或126
• C． 128
• D． 0或128

Answer 1

分析 觀察已知式子，移項(xiàng)變形為a_n+1+2=q（a_n+2），從而得到a_n+2與a_n+1+2的關(guān)系，分a_n=-2和a_n≠-2討論，當(dāng)a_n≠-2時(shí)構(gòu)造公比為q的等比數(shù)列{a_n+2}，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=qa_n+2q-2（q為常數(shù)，|q|＜1），
∴a_n+1+2=q（a_n+2），n=1，2，…，
下面對a_n是否為2進(jìn)行討論：
①當(dāng)a_n=-2時(shí)，顯然有a₃，a₄，a₅，a₆∈{-18，-6，-2，6，30}，
此時(shí)a₁=-2；
②當(dāng)a_n≠-2時(shí)，{a_n+2}為等比數(shù)列，且q=$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$，（q為常數(shù)，|q|＜1），
又因?yàn)閍₃，a₄，a₅，a₆∈{-18，-6，-2，6，30}，
所以a₃+2，a₄+2，a₅+2，a₆+2∈{-16，-4，0，8，32}，
因?yàn)閍_n≠-2，所以a_n+2≠0，
又因?yàn)閨q|＜1，
從而a₃+2=32，a₄+2=-16，a₅+2=8，a₆+2=-4，
故有a₃=30，a₄=-18，a₅=6，a₆=-6，且q=-$\frac{1}{2}$，
代入a_n+1=qa_n+2q-2，
得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=-\frac{1}{2}{a}_{2}-3}\\{{a}_{2}=-\frac{1}{2}{a}_{1}-3}\end{array}\right.$，從而可得到a₂=-66，a₁=126；
綜上所述，a₁=-2或126，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推式，對數(shù)列遞推式能否成功變形是解答本題的關(guān)鍵所在，要分類討論思想在本體重的應(yīng)用，否則容易漏解，注意解題方法的積累，屬于難題．