Question

5．已知命題p：$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{m-4}$=1表示雙曲線，命題q：$\frac{{x}^{2}}{m+2}$+$\frac{{y}^{2}}{6-m}$=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．
（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若命題q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若命題“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）命題p為真命題，則（m-1）（m-4）＜0，解出即可．
（2）命題q為真命題，則$\left\{\begin{array}{l}{m+2＞0}\\{6-m＞0}\\{6-m＞m+2}\end{array}\right.$，解出即可．
（3）由命題“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，可得命題p與q一真一假．解出即可．

解答 解：（1）命題p為真命題，則（m-1）（m-4）＜0，
∴1＜m＜4．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1，4）．
（2）命題q為真命題，則$\left\{\begin{array}{l}{m+2＞0}\\{6-m＞0}\\{6-m＞m+2}\end{array}\right.$，
∴-2＜m＜2．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-2，2）．
（3）∵命題“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，
∴命題p與q一真一假．
①若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{1＜m＜4}\\{m≤-2或m≥2}\end{array}\right.$，得2≤m＜4；
②p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{m≤1或m≥4}\\{-2＜m＜2}\end{array}\right.$，得-2＜m≤1．
綜上可知，m的取值范圍是（-2，1]∪[2，4）．

點(diǎn)評 本題考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．