Question

3．已知△ABC的兩邊AC=1，AB=2，∠A的平分線與BC邊交于點(diǎn)D，AD=1，求△ABC的面積．（提示：下面結(jié)論可以直接應(yīng)用無需證明．結(jié)論：在△ABC中，∠A的平分線與BC邊交于點(diǎn)D，則有$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$）．

Answer 1

分析 由AD為角平分線，利用角平分線性質(zhì)列出比例式，找出BD與CD關(guān)系，設(shè)BD=2x，DC=x，利用余弦定理表示出cos∠ADB與-cos∠ADC，代入cos∠ADB=-cos∠ADC，求出x的值，確定出cos∠BAC的值，進(jìn)而求出sin∠BAC的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答 解：∵AD為∠BAC的平分線，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$=2，
設(shè)BD=2x，DC=x，
∵cos∠ADB=-cos∠ADC=$\frac{1+4{x}^{2}-4}{4x}$=-$\frac{1+{x}^{2}-1}{2x}$，
整理得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（負(fù)值舍去），
∴cos∠BAC=$\frac{1+4-9{x}^{2}}{4}$=$\frac{1}{8}$，
∴sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×2sinA=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．