Question

7．如圖所示，平面ADEF⊥平面ABCD，且四邊形ADEF為正方形，AD⊥DC，AB∥CD，AB=AD=$\frac{1}{2}$DC=2，M為CE的中點(diǎn)．
（1）求證：BM∥平面ADEF；
（2）求證：BC⊥平面BED；
（3）求三棱錐M-DEB的體積．

Answer 1

分析 （1）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結(jié)合已知中AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF．
（2）欲證BC⊥平面BDE，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面BDE內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知ED⊥平面ABCD，則ED⊥BC，根據(jù)勾股定理可知BC⊥BD，滿足定理所需條件；
（3）利用三棱錐的體積公式直接計(jì)算即可．

解答 （1）證明：取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN
在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點(diǎn)，
所以MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}$CD．
由已知AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN
又因?yàn)锳N?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．
（2）證明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2$\sqrt{2}$
在△BCD中，BD=BC=2$\sqrt{2}$，CD=4，
所以BD²+BC²=CD²．
所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面BDE．
（3）解：由（2）可知，BC⊥平面BDE，
所以三棱錐M-DEB的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，三棱錐體積的計(jì)算，熟練掌握空間直線與平面不同位置關(guān)系（平行和垂直）的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．