Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），則S₂₀₁₂=3×2¹⁰⁰⁶-3．

Answer 1

分析 由已知條件得a₁=1，a₂=2，由已知條件得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)列、偶數(shù)列分別成等比數(shù)列，由此能求出S₂₀₁₂．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，n∈N^*
∴n=1時(shí)，a₂=2，
∵a_n•a_n+1=2ⁿ，∴n≥2時(shí)，a_n•a_n-1=2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)列、偶數(shù)列分別成等比數(shù)列，
∴S₂₀₁₂=$\frac{1-{2}^{1006}}{1-2}$+$\frac{2（1-{2}^{1006}）}{1-2}$=3×2¹⁰⁰⁶-3．
故答案為：3×2¹⁰⁰⁶-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前2012項(xiàng)的和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．