Question

19．非負(fù)實(shí)數(shù)a₁，a₂，…a_n，滿足a₁a₂…a_n=1，對(duì)于n≥4，證明$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{3n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$≥n+3．

Answer 1

分析 由a₁a₂…a_n=1得：當(dāng)n≥2時(shí)，a₁a₂…a_n-1=1，兩個(gè)式子相除求出a_n、$\frac{1}{{a}_{n}}$，代入不等式的左邊化簡(jiǎn)即可證明結(jié)論成立．

解答 證明：由題意得，a₁a₂…a_n=1，①
所以當(dāng)n≥2時(shí)，a₁a₂…a_n-1=1，②
$\frac{①}{②}$得a_n=1，則$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
所以$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{3n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=n+$\frac{3n}{n}$=n+3，
所以$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{3n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$≥n+3成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式的化簡(jiǎn)、變形，以及數(shù)列與不等式的問(wèn)題．