創(chuàng)新課時(shí)作業(yè)本九年級數(shù)學(xué)蘇科版
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7. 如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠C=90°，AB=6cm，CD=10cm，AD=5cm，動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)Q以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，當(dāng)一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個動點(diǎn)也立即停止運(yùn)動.
（1）經(jīng)過幾秒，點(diǎn)P、Q之間的距離為5cm？
（2）連接PD，是否存在某一時(shí)刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，請求出此時(shí)的運(yùn)動時(shí)間；若不存在，請說明理由.
答案：（1）1秒或$ \frac{7}{5} $秒
（2）存在，$ t=\frac{3}{2} $秒
（1）過點(diǎn)A作$ AE \perp CD $于點(diǎn)E，得$ DE=CD - AB=4 \, cm $，$ AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=3 \, cm $。
設(shè)運(yùn)動時(shí)間為$ t $秒，$ AP=2t \, cm $，$ CQ=t \, cm $，則$ PQ^2=(10 - 2t - t)^2 + 3^2=(10 - 3t)^2 + 9 $。
令$ PQ=5 $，則$ (10 - 3t)^2 + 9=25 $，解得$ t_1=1 $，$ t_2=\frac{7}{5} $。
（2）若PD平分$ \angle APQ $，則$ \angle APD=\angle QPD $，因?yàn)? AB//CD $，所以$ \angle APD=\angle PDQ $，故$ \angle QPD=\angle PDQ $，則$ PQ=DQ $。
$ DQ=CD - CQ=(10 - t) \, cm $，$ PQ=\sqrt{(10 - 3t)^2 + 9} $，所以$ \sqrt{(10 - 3t)^2 + 9}=10 - t $，解得$ t=\frac{3}{2} $。
