Question

已知cos72°=

5 -1

4

，求cos36°．

Answer 1

考點(diǎn)：黃金分割

專題：

分析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，由cosC=cos72°=

5 -1

4

，設(shè)BC=1，點(diǎn)D在邊AC上且BD平分∠ABC，設(shè)CD=x．推出△ABC∽△BCD；由AD=BD=BC，根據(jù)AD+DC表示出AC，由兩三角形相似得比例求出x的值即可；過B作BE垂直于AC，交AC于點(diǎn)E，在直角三角形ABE，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos36°．

解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD；
∵∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∵BD=BC，
∴AD=BD=BC=1，
設(shè)CD=x，則有AB=AC=x+1，
∵△ABC∽△BCD，
∴

AB

BD

=

BC

CD

，即

x+1

1

=

1

x

，
整理得：x²+x-1=0，
解得：x₁=

5 -1

2

，x₂=

- 5 -1

2

（負(fù)值，舍去），
過B作BE⊥AC，交AC于點(diǎn)E，
∵BD=BC，
∴E為CD中點(diǎn)，即DE=CE=

5 -1

4

，
在Rt△ABE中，cosA=cos36°=

AE

AB

=

1+ 5 -1 4

1+ 5 -1 2

=

5 +1

4

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及一元二次方程的解法，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．