Question

拋物線y=

1

2

x²-

5

2

x與x軸交于O，A兩點，半徑為1的動圓（⊙P），圓心從O點出發(fā)沿拋物線向靠近點A的方向移動，半徑為2的動圓（⊙Q），圓心從A點出發(fā)沿拋物線向靠近點O的方向移動，若兩圓同時開始移動，且移動速度始終相等，當(dāng)運動到P，Q兩點重合時同時停止下來．
（1）設(shè)P點的坐標(biāo)（t，

1

2

t²-

5

2

t），試寫出的t取值范圍，并用含t的式子表示Q點的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)⊙P與⊙Q外切時，試判斷⊙Q與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)t取何值時兩圓相離．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接OP、PQ、AQ．先根據(jù)拋物線的對稱性，得出y=

1

2

x²-

5

2

x與x軸的兩個交點O與A關(guān)于拋物線的對稱軸x=

5

2

對稱，再證明四邊形OPQA是等腰梯形，作等腰梯形OPQA的高PM、QN，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出OM=AN=t．然后解方程

1

2

x²-

5

2

x=0，求出OA=5，進(jìn)而得出點Q的橫坐標(biāo)是5-t；
（2）⊙P與⊙Q外切時，⊙Q與x軸的位置關(guān)系是相切，當(dāng)⊙P與⊙Q外切則時，由（1）可知：PQ=MN=1+2=3，根據(jù)等腰梯形的對稱性可知OM=AN=

1

2

（5-3）=1，所以可求出t的值為1，進(jìn)而可求出Q的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出Q的縱坐標(biāo)，即Q到x軸的距離，再和圓Q的半徑2比較大小即可得到圓和x軸的位置關(guān)系；
（3）⊙P與⊙Q相離，包含兩種情況：①⊙P與⊙Q外離，根據(jù)兩圓外離時，圓心距＞兩圓半徑之和求解；②⊙P與⊙Q內(nèi)含，根據(jù)兩圓內(nèi)含時，圓心距＜兩圓半徑之差的絕對值求解．

解答：解：（1）連接OP、PQ、AQ．
∵拋物線y=

1

2

x²-

5

2

x與x軸交于O，A兩點，
∴O與A關(guān)于拋物線的對稱軸x=

5

2

對稱，
又∵動圓（⊙P）的圓心從O點出發(fā)沿拋物線向靠近點A的方向移動；動圓（⊙Q）的圓心從A點出發(fā)沿拋物線向靠近點O的方向移動，兩圓同時出發(fā)，且移動速度相等，
∴OP=AQ，P與Q也關(guān)于直線x=

5

2

對稱，
∴四邊形OPQA是等腰梯形．
作等腰梯形OPQA的高PM、QN，則OM=AN=t．
解方程

1

2

x²-

5

2

x=0，得x₁=0，x₂=5，
∴A（5，0），OA=5，
∴ON=OA-AN=5-t，
∴點Q的橫坐標(biāo)是5-t；

（2）⊙P與⊙Q外切時，⊙Q與x軸的位置關(guān)系是相切，理由如下：
當(dāng)⊙P與⊙Q外切則時，由（1）可知：PQ=MN=1+2=3，根據(jù)等腰梯形的對稱性可知OM=AN=

1

2

（5-3）=1，
∴t=1，
∴點Q的橫坐標(biāo)是5-1=4，
把x=4代入拋物線解析式y(tǒng)=

1

2

x²-

5

2

x得：y=-2，
∴Q到x軸的距離是2，
∵圓的半徑為2，
∴d=r，
∴⊙Q與x軸的位置關(guān)系是相切；

（3）若⊙P與⊙Q相離，分兩種情況：
①⊙P與⊙Q外離，則PQ＞2+1，即PQ＞3．
∵OM=AN=t，OA=5，
∴PQ=MN=OA-OM-AN=5-2t，
∴5-2t＞3，
解得t＜1，
又∵t≥0，
∴0≤t＜1；
②⊙P與⊙Q內(nèi)含，則PQ＜2-1，即PQ＜1．
由①知PQ=5-2t，
∴5-2t＜1，
解得t＞2，
又∵兩圓分別從O、A兩點同時出發(fā)，且移動速度相等，當(dāng)運動到P，Q兩點重合時同時停止運動，OA=5，點P的橫坐標(biāo)為t，
∴2t≤5，
解得t≤

5

2

．
∴2＜t≤

5

2

．
故答案為：5-t；0≤t＜1或2＜t≤

5

2

．

點評：本題借助于動點主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系，題型比較新穎，難度適中．利用二次函數(shù)的對稱性等證明四邊形OPQA是等腰梯形是解（1）題的關(guān)鍵；進(jìn)行分類討論是解（3）題的關(guān)鍵．