Question

17．如圖，已知點(diǎn)A（3，4），點(diǎn)B為直線x=-2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C（x，0）且-2＜x＜3，BC⊥AC垂足為點(diǎn)C，連接AB．若AB與y軸正半軸的所夾銳角為α，當(dāng)tanα的值最大時(shí)x的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)直線x=-2與x軸交于G，過A作AH⊥直線x=-2于H，AF⊥x軸于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABH=α，由三角函數(shù)的定義得到tanα=$\frac{5}{BH}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式$\frac{y}{3-x}$=$\frac{x+2}{4}$，于是得到y(tǒng)=-$\frac{1}{4}$（x+2）（3-x）=-$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{16}$，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，設(shè)直線x=-2與x軸交于G，過A作AH⊥直線x=-2于H，AF⊥x軸于F，

∵BE∥y軸，
∴∠ABH=α，
在Rt△ABH中，tanα=$\frac{5}{BH}$，
∵tanα隨BH的增大而減小，
∴當(dāng)BH最小時(shí)tanα有最大值；即BG最大時(shí)，tanα有最大值，
∵∠BGC=∠ACB=∠AFC=90°，
∴∠GBC+∠BCG=∠BCG+∠ACF=90°，
∴∠GBC=∠ACF，
∴△ACF∽△CBG，
∴$\frac{BG}{CF}$=$\frac{CG}{AF}$，即$\frac{y}{3-x}$=$\frac{x+2}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（3-x）=-$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{16}$，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y_max=$\frac{25}{16}$
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線證得△ACF∽△CBG是解題的關(guān)鍵．