Question

14．閱讀1：a、b為實數(shù)，且a＞0，b＞0因為（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²≥0，所以a-2$\sqrt{ab}$+b≥0從而a+b≥2$\sqrt{ab}$（當a=b時取等號）．
閱讀2：若函數(shù)y=x+$\frac{m}{x}$；（m＞0，x＞0，m為常數(shù)），由閱讀1結論可知：x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$，所以當x=$\frac{m}{x}$，即x=$\sqrt{m}$時，函數(shù)y=x+$\frac{m}{x}$的最小值為2$\sqrt{m}$．
閱讀理解上述內容，解答下列問題：
問題1：已知一個矩形的面積為4，其中一邊長為x，則另一邊長為$\frac{4}{x}$，周長為2（x+$\frac{4}{x}$），求當x=2時，周長的最小值為8；
問題2：已知函數(shù)y₁=x+1（x＞-1）與函數(shù)y₂=x²+2x+10（x＞-1），當x=2時，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值為6．

Answer 1

分析 問題1：根據閱讀1、2給定內容可知：當x=$\frac{4}{x}$，x+$\frac{4}{x}$有最小值，解方程求出x的值，代入x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$即可得出結論；
問題2：根據給定y₁、y₂找出$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=（x+1）+$\frac{9}{x+1}$，由閱讀材料可知當x+1=$\frac{9}{x+1}$時，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$有最小值，解方程求出x的值，再代入x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$即可得出結論．

解答 解：問題1：∵矩形的一邊長為x，另一邊長為$\frac{4}{x}$，
∴x＞0．
令x=$\frac{4}{x}$，解得：x=2，
∴x=2時，x+$\frac{4}{x}$有最小值為2×$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，
∴當x=2時，周長的最小值為2×4=8．
故答案為：2；8．
問題2：∵函數(shù)y₁=x+1（x＞-1），函數(shù)y₂=x²+2x+10（x＞-1），
∴$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{{x}^{2}+2x+10}{x+1}$=（x+1）+$\frac{9}{x+1}$，
∵x＞-1，
∴x+1＞0．
令x+1=$\frac{9}{x+1}$，解得：x=2，或x=-4（舍去），
∴當x=2時，（x+1）+$\frac{9}{x+1}$有最小值為2×$\sqrt{（x+1）•\frac{9}{x+1}}$=6．

點評 本題考查了反比例的綜合應用，解題的關鍵是根據閱讀材料的結論“x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$，所以當x=$\frac{m}{x}$，即x=$\sqrt{m}$時，函數(shù)y=x+$\frac{m}{x}$的最小值為2$\sqrt{m}$”解決問題．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據閱讀材料給出的結論解決問題是關鍵．