Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高線，BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F，以AB上的點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)E，恰好經(jīng)過點(diǎn)F．
（1）求證：AD與⊙O相切；
（2）當(dāng)BC=4，AC=6時(shí)，求線段AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OF，由AB=AC可得出∠OBF=∠OFB，由BF平分∠ABC可得出∠OBF=∠DBF，根據(jù)等量替換可得出∠DBF=∠OFB，進(jìn)而得出OF∥BD，再結(jié)合AD是BC邊上的高線即可得出OF⊥AD，此題得證；
（2）由AB=AC，AD是BC邊上的高線，即可得出BD、AB的長度，根據(jù)OF∥BD即可得出△AOF∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出$\frac{OF}{BD}=\frac{AO}{AB}$，進(jìn)而求出OF的長度，此題得解．

解答 解：（1）證明：連接OF，如圖所示．
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB．
∵BF平分∠ABC，
∴∠OBF=∠DBF，
∴∠DBF=∠OFB，
∴OF∥BD．
∵AD是BC邊上的高線，
∴OF⊥AD，
∴AD與⊙O相切．
（2）∵AB=AC，AD是BC邊上的高線，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2．
∵AC=6，
∴AB=6，
∵OF∥BD，
∴△AOF∽△ABD，
∴$\frac{OF}{BD}=\frac{AO}{AB}$．
設(shè)半徑為r，得：$\frac{r}{2}=\frac{6-r}{6}$，
解得：r=$\frac{3}{2}$，
∴AE=3．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出OF∥BD；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{OF}{BD}=\frac{AO}{AB}$．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用平行線的性質(zhì)（全等三角形或相似三角形）找出垂直關(guān)系是關(guān)鍵．