Question

13．如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，過B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O于點A，連接PA、AO，并延長AO交⊙O于點E，與PB的延長線交于點D．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若$\frac{OC}{AC}$=$\frac{2}{3}$，且OC=4，求PA的長．

Answer 1

分析 （1）證明△PAO≌△PBO可得結(jié)論；
（2）根據(jù)∠POA的余切列式，可以求出PA的長．

解答 （1）證明：連接OB，
∵PB為⊙O的切線，
∴OB⊥PB，
∴∠PBO=90°，
∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分線，
∴PA=PB，
∵OA=OB，PO=PO，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切線；
（2）∵$\frac{OC}{AC}$=$\frac{2}{3}$，且OC=4，
∴AC=6，
∴AO=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{16+36}$=2$\sqrt{13}$，
在Rt△PAO中，∵AB⊥PO，
∴tan∠POA=$\frac{AC}{OC}=\frac{PA}{AO}$，
∴$\frac{3}{2}=\frac{PA}{2\sqrt{3}}$，
∴PA=3$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)和判定，做好本題是明確兩點：①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑． ②經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；要利用比例式計算邊的長度時，利用三角函數(shù)列式比相似要簡單些．