Question

1．如圖①，現(xiàn)有長度分別為a、b、1的三條線段．
【加、減】圖②所示為長為a+b的線段，請用尺規(guī)作出長為a-b的線段．

【乘】在圖③中，OA=a，OC=b，點B在OA上，OB=1，AD∥BC，交射線OC于點D．
求證：線段OD的長為ab．
【除】請用尺規(guī)作出長度為$\frac{a}$的線段．
【開方】任意兩個有理數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍然是有理數(shù)，而開方運算則打開了通向無理數(shù)的一扇門．請用兩種不同的方法，畫出長度為$\sqrt{a+b}$的線段．
注：本題作（畫）圖不寫作（畫）法，需標明相應(yīng)線段長度．

Answer 1

分析 【加、減】根據(jù)線段和差定義即可畫出圖象．
【乘】根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可解決問題．
【除】根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可解決問題．
【開方】構(gòu)造相似三角形，即可解決問題．

解答 解：【加、減】如圖①，線段AB長為a-b．


【乘】證明：∵AD∥BC，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{OC}{OD}$，即$\frac{1}{a}$=$\frac{OD}$．
∴OD=ab．

【除】如圖②，OA=a，OC=b，點B在OC上，OB=1，BD∥AC，交OA于點D．
則OD=$\frac{a}$．
證明：∵BD∥AC，
∴$\frac{OD}{OA}$=$\frac{OB}{OC}$，
∴$\frac{OD}{a}$=$\frac{1}$，
∴OD=$\frac{a}$．

【開方】圖③和圖④中的MN均為$\sqrt{a+b}$．

理由：如圖3中，BM是直徑，BM=a+b，AM=1，AN⊥BM，
∵∠M=∠M，∠MAN=∠MNB=90°，
∴△MAN∽△MNB，
∴$\frac{MN}{MA}$=$\frac{BM}{MN}$，
∴MN²=a+b，
∴MN=$\sqrt{a+b}$．

如圖4中，AB是直徑，AB=a+b+1，
BM=1，MN⊥AB，
由△AMN∽△NMB，
∴$\frac{MN}{BM}$=$\frac{AM}{MN}$，
∴MN²=a+b，
∴MN=$\sqrt{a+b}$．

點評 本題考查作圖-設(shè)計應(yīng)用、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，屬于中考常考題型．