Question

已知，如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過O作AO的垂線分別交于AB，AC于點(diǎn)D，E，求證：∠OBC=∠EOC．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：由BO與CO是∠ABC、∠ACB的平分線，可得AO是∠BAC的平分線，利用三角形的內(nèi)角和可得∠BOC=180°-

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∠ABC-

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∠ACB=180°-

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2

（∠ABC+∠ACB）又因?yàn)椤螦BC+∠ACB=180°-∠BAC，所以可得∠BOC=180°-

1

2

（180°-∠BAC）=90°+

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2

∠BAC，再利用外角的性質(zhì)可得∠OEC=90°+

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2

∠BAC，又因?yàn)椤螮CO=∠BCO，即可證明△OBC∽△EOC，從而證得∠OBC=∠EOC．

解答：證明：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，
∴AO平分是∠BAC的平分線，
∴∠OAE=

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∠BAC，
∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC=

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∠ABC，∠OCB=

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∠ACB，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-

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（∠ABC+∠ACB）
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠BOC=180°-

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2

（180°-∠BAC）
=90°+

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∠BAC，
∵AO⊥DE，
∴∠AOE=90°，
∴∠OEC=∠AOE+∠OAE=90°+

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2

∠BAC，
∴∠BOC=∠OEC，
又∵∠ECO=∠OCB，
∴△BOC∽△OEC，
∴∠OBC=∠EOC．

點(diǎn)評：本題主要考查角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，相似三角形的判定和性質(zhì)，能通過圖形和已知找到角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．