Question

如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC=2，點D在邊BC的反向延長線上，且DB=3，點E在邊BC的延長線上，且∠EAC=∠D．
（1）求線段CE的長；
（2）求證：

AC2

AE2

=

BD

BE

；
（3）當AC平分∠BAE時，求線段AD的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)條件可證明△ACE∽△DBA，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求得CE；
（2）可證明△DBA∽△DAE，可得

CA

CD

=

AB

DA

=

AB

DA

，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠EAC=∠D，
∴△DBA∽△ACE，
∴

DB

AC

=

AB

CE

，
∵AB=AC=2，DB=3，
∴

3

2

=

2

CE

，
∴CE=

4

3

；
（2）∵△ACE∽△ADB，
∴

AC

BD

=

CE

AB

，
∴AC²=BD•CE，
∵∠ACE=∠D+∠BAD+∠BAC，∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE，
∴∠ACE=∠DAE且∠E=∠E，
∴△ACE∽△DAE，
∴

AE

DE

=

CE

AE

，
∴AE²=ED•CE，
∴

AC2

AE2

=

BD

DE

．
（3）∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠CAB．
∵∠EAC=∠D，
∴∠CAB=∠D．
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CAB∽△CDA，
∴

CA

CD

=

AB

DA

=

AB

DA

，
∴

2

3+y

=

2

x

，
即3+

1

3

x²-

13

3

=x，
解得x₁=4，x₂=-1（舍去），
即AD=4．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，熟悉圖形的特點，從中找到相關(guān)圖形是解題的關(guān)鍵．