Question

在邊長為a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD上異于A，D兩點的動點，F(xiàn)是CD上的動點，滿足AE+CF=a
（1）求證：△BDE≌△BCF；
（2）證明：不論E、F怎樣移動，△BEF總是等邊三角形．
（3）設△BEF的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用菱形的性質(zhì)和正三角形的特點進行證明；
（2）△BEF為正三角形，可解用（1）全等的結論證明；
（3）作出恰當?shù)妮o助線，構成直角三角形，根據(jù)直角三角形的特點和三角函數(shù)進行計算．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD．
又∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AD，
∵菱形ABCD的邊長為a，
∴BD=a，
∴△ABD和△BCD都為正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=a，而AE+CF=a，
∴DE=CF．
在△BDE與△BCF中，

DE=CF ∠BDE=∠BCF BD=BC

，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；

（2）解：△BEF為正三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF為正三角形；

（3）解：設BE=BF=EF=x，
則S=

1

2

•x•x•sin60°=

3

4

x²，
當BE⊥AD時，x_最小=a×sin60°=

3

2

a，
∴S_最小=

3

4

×（

3

2

a）²=

3 3

16

a²，
當BE與AB重合時，x_最大=a，
∴S_最大=

3

4

×a²=

3

4

a²，
∴

3 3

16

a²≤S≤

3

4

a²．

點評：本題考查的是菱形的面積求法及菱形性質(zhì)的綜合運用、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．