Question

5．如圖，已知平行四邊形ABCD中，E為AD中點，點G在BC邊上，且∠1=∠2．
（1）若AD=4，求BG的長；
（2）若F為CD延長線上一點，連接BF，且滿足∠3=∠2．求證：CD=BF+DF．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的性質(zhì)，得到AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，證明△AEB≌△CDG，得到AE=CG，利用G為BC中點，即可解答；
（2）作輔助線，延長DF，BE，相交于點H，證明四邊形EBDG為平行四邊形，得到BE∥DG，得到∠G=∠2，因為∠3=∠2，得到∠G=∠3，利用等角對等邊，得到GF=BF，再證△AEB≌△EDG，得到AB=EG，即可解答．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
在△AEB和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{AB=CD}\\{∠1=∠2}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CDG，
∴AE=CG，
∵G為BC中點，
∴CG=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，
∵AD=BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，
∴E是AD的中點，
∴DE=BG=$\frac{1}{2}$AD=2，
（2）如圖，延長DF，BE，相交于點H，
∵E為AD的中點，G為BC的中點，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD，BG=$\frac{1}{2}$BC，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴DE=BG，DE∥BG，
∴四邊形EBGD為平行四邊形，
∴BE∥DG，
∴∠H=∠2，
∵∠3=∠2，
∴∠H=∠3，
∴BF=HF，
∵∠1=∠2，
∴∠H=∠1，
∵E為AD的中點，
∴AE=DE，
在△AEB和△DEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠H}\\{∠AEB=∠DEG}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△DEH，
∴AB=DH，
∵AB=CD，
∴CD=DH，
∵DH=HF+FD，HF=BF，
∴DH=BF+FD，
∴CD=BF+FD．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定，解決本題的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的對應(yīng)邊相等，再利用等量代換即可解答．