Question

17．類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．
（1）概念理解：
如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．請(qǐng)寫出你添加的一個(gè)條件，你添加的條件是AB=BC．
（2）問(wèn)題探究：
如圖2，在“等鄰邊四邊形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=6，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．
（3）拓展應(yīng)用：
如圖3，“等鄰邊四邊形”ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=30°，AC為對(duì)角線，試探究AC，BC，DC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義可知：只需要一組鄰邊相等即可．
（2）由AB=AD，∠BAD=60°，可知△ABD是等邊三角形，再由∠ABC=∠ADC=90°，可知CB=CD，所以AC垂直平分BD，然后利用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)分別計(jì)算出AO和OC的長(zhǎng)度．
（3）由于∠BAD+∠BCD=90°，所以考慮構(gòu)造直角三角形使得該直角三角形的三邊長(zhǎng)度分別是AC、BC、CD的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理即可得出AC²=BC²+CD²

解答 解：（1）根據(jù)定義：AB=BC．

（2）連接AC、BD交于點(diǎn)O，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴CB=CD，
∴AC垂直平分BD，
∴BO=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴AO=$\sqrt{A{B}^{2}-B{O}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
在Rt△BOC中，
tan∠CBD=$\frac{OC}{BO}$，
∴OC=$\sqrt{3}$，
∴AC=AO+OC=4$\sqrt{3}$；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC于點(diǎn)C，且使得CE=CD，
∵∠BAD+∠BCD=90°，
∴∠DCE=60°，
∴△CDE是等邊三角形，
∴DE=CD，∠EDC=60°，
∵AB=AD，∠DAB=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
在△ADC和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADC=∠BDE}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC=BE，
∵∠BCE=90°，
∴BE²=BC²+CE²，
即AC²=BC²+CD²

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查新定義等鄰邊四邊形，理解這個(gè)新定義，主要利用到構(gòu)造直角三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)論．新定義的理解是解本題的關(guān)鍵．