Question

17．已知△ABC中，CD平分∠ACB，AQ⊥CD，P為AB的中點(diǎn)，求證：PQ=$\frac{1}{2}$（BC-AC）

Answer 1

分析 延長(zhǎng)AQ交BC于M，求出∠CAQ=∠MCQ，∠CQA=∠CQM=90°，根據(jù)ASA推出△ACQ≌△MCQ，根據(jù)全等得出AC=CM，AQ=MQ，根據(jù)三角形的中位線得出PQ=$\frac{1}{2}$BM即可．

解答 證明：如圖，延長(zhǎng)AQ交BC于M，

∵CD平分∠ACB，AQ⊥CD，
∴∠CAQ=∠MCQ，∠CQA=∠CQM=90°，
在△ACQ和△MCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACQ=∠MCQ}\\{CQ=CQ}\\{∠CQA=∠CQM}\end{array}\right.$，
∴△ACQ≌△MCQ，
∴AC=CM，AQ=MQ，
∵P為AB的中點(diǎn)，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BM，
∵BM=BC-CM=BC-AC，
∴PQ=$\frac{1}{2}$（BC-AC）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，并進(jìn)一步推出PQ是△AMB的中位線，難度適中．